Mechanische Energie

Arbeit

Arbeit (work) beschreibt die mechanische Zuführung von Energie an einen Körper. (Energieänderung)

An einem Körper wird Arbeit verrichtet, wenn über eine Strecke $s$ die Kraft $F$ auf ihn einwirkt.

$W = F \cdot s = \Delta E$

Eine andere Möglichkeit die Energie eines Körpers zu ändern ist die Übertragung von Wärme $Q$ auf ihn.

Goldene Regel der Mechanik

Die Goldene Regel der Mechanik steckt eigentlich schon in der Definition der Arbeit:

$W = F \cdot s$

Das bedeutet nämlich auch, dass mehrere Kombinationen aus Arbeit $F$ und Strecke $s$ zur gleichen Arbeit führen können:

$W = F_1 \cdot s_1 = F_2 \cdot s_2 = F_3 \cdot s_3 = \ldots$

Um die gleiche Arbeit zu verrichten, muss bei einer kleineren Strecke eine größere Kraft aufgewendet werden.

Und umgekehrt: Für die gleiche Arbeit genügt bei einer größeren Strecke eine kleinere Kraft.

Technische Geräte, die die Goldene Regel der Mechanik nutzen, nennt man Kraftwandler.

Leistung

Leistung (power) ist Arbeit pro Zeit bzw. Energieänderung pro Zeit.

$P=\frac{W}{\Delta t}=\frac{\Delta E}{\Delta t}$

Die Einheit der Leistung ist das Watt:

$[P]=1\frac{\text{J}}{\text{s}}=1 \text{Watt} = 1\text{W}$

Wirkungsgrad

Der Wirkungsgrad einer Maschine oder eines Prozesses gibt an, welcher Anteil (Bruchteil in Prozent) der aufgewendeten Leistung in tatsächlich nutzbare Leistung umgewandelt wird:

$\displaystyle \eta = \frac{P_\text{nutzbar}}{P_\text{aufgewendet}}$

Ein Wirkungsgrad von $\eta \geq 100\% $, also eine Maschine (Perpetuum Mobile), die mehr Leistung abgibt als man ihr - in welcher Form auch immer - zuführt, existiert nicht.

Herkömmliche Verbrennungsmotoren erreichen einen Wirkungsgrad von maximal 50%.

Die "verlorene" Leistung geht in der Regel in Innere Energie über.

Kinetische Energie / Bewegungsenergie

Kinetische Energie ist immer dann vorhanden, wenn sich ein Körper bewegt.

Je größer die Geschwindigkeit ist, umso größer ist die kinetische Energe. Aber: Dieser Zusammenhang ist nicht linear!

$E_\text{kin} = \frac{1}{2}\cdot m\cdot v^2$

Potenzielle Energie / Lageenergie

Die potenzielle Energie ist abhängig vom Ort, an dem sich ein Körper befindet.

Je höher ein Körper liegt, umso größer ist seine potenzielle Energe.

$E_\text{pot} = m\cdot g\cdot h$

Potenzielle Energie der Spannung / Spannenergie (opt.)

Die Spannenergie ist abhängig von dem Weg, um den eine Schraubenfeder gedehnt bzw. gestaucht wird. Sie ist unabhängig von der Masse des angehängten Körpers.

Je weiter die Feder gedehnt wird, umso größer ist die dadurch gespeicherte Spannenergie. (Zusammenhang nicht linear!)

Je härter die Feder ist, umso größer ist bei gleicher Dehnung der gespeicherten Spannenergie.

$E_\text{Sp} = \frac{1}{2}\cdot D \cdot s^2$

Umwandlung: $E_\text{kin} \rightarrow E_\text{pot}$

Bsp.: Ball rollt eine Ebene hinauf.

Während der Ball immer höher kommt, nimmt seine Geschwindigkeit ab, bis er schließlich stehen bleibt (und umkehrt).

Typische Fragestellung:
Welche Höhe erreicht der Ball maximal?

$E_\text{kin} = E_\text{pot}$

$\frac{1}{2}mv^2 = mgh$

$\frac{1}{2}v^2 = gh$

$\frac{1}{2g}v^2 = h$

Umwandlung: $E_\text{pot} \rightarrow E_\text{kin}$

Bsp.: Freier Fall (ohne Reibung)

Beim freien Fall wird direkt Lageenergie in Bewegungsenergie umgewandelt. Je mehr Strecke zurückgelegt wird, umso höher ist die Geschwindigkeit.

Typische Fragestellung:
Wie groß ist die Geschwindigkeit beim Auftreffen?

$E_\text{kin} = E_\text{pot}$

$\frac{1}{2}mv^2 = mgh$

$v^2 = 2gh$

$v = \sqrt{2gh}$

Kraftwandler: Lose Rolle

Lose RolleDurch eine lose Rolle wird die Gewichtskraft, die an der losen Rolle angreift, auf zwei Trageseile aufgeteilt. Daher ist jedes Seil nur noch mit der halben Kraft belastet.

Um das angehängte Gewicht um die Höhe $h$ anzuheben, muss aber in beiden Seilen die Höhe $h$ zurückgelegt werden. D.h. die Arbeit bleibt dieselbe:

$W = F \cdot h = 2 \cdot \frac{F}{2} \cdot h$

Kraftwandler: Feste Rolle

Feste RolleEine feste Rolle lenkt die Kraft, die am Seil angreift, nur in eine andere Richtung um.

Dadurch kann aus nahezu beliebiger Richtung Arbeit am angehängten Gewicht verrichtet werden, sodass dieses an potenzieller Energie gewinnt.

Kraftwandler: Flaschenzug

Der Flaschenzug vereint die Vorteile von loser und fester Rolle und ist eine Kombination aus diesen.

einfacher FlaschenzugBei dem links abgebildeten einfachen Flaschenzug halbiert die lose Rolle die Kraft und die feste Rolle lenkt die halbe Kraft um. Dadurch kann man mit nur der halben Gewichtskraft die Masse $m$ in Position halten.

Um die Masse um die Höhe $h$ höher zu ziehen, muss an dem freien Seilende die Länge $2\cdot h$ weiterziehen, denn: Der Energieunterschied und damit die Arbeit bleibt gleich.

Kraftwandler: Schiefe Ebene

Schiefe Ebene

Liegt ein Körper auf einer schiefen Ebene, so wird er nicht mit seiner ganzen Gravitationskraft beschleunigt. Nur ein Teil seiner Gravitationskraft, die sog. Hangabtriebskraft $F_H$ trägt zur Beschleunigung des Körpers bei.

Um die Hangabtriebskraft zu bestimmen muss die Gravitationskraft $F_G$ in die Hangabtriebskraft $F_H$ und die Normalkraft $F_N$ zerlegt werden. Diese Zerlegung erfolgt durch das entsprechende Kräfteparallelogramm. Es gilt:

$\frac{F_H}{F_G}=\frac{h}{l}$

Um einen Körper entlang einer schiefen Ebene auf die Höhe $h$ zu ziehen, muss man zwar weniger Kraft aufwenden als würde man ihn direkt hochheben, doch ist auch die zurückzulegende Strecke $l$ größer:

$W = F_G \cdot h = F_H \cdot l$

 

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